Introduzione alla funzione di Bessel

Le funzioni di Bessel, note anche come funzioni cilindriche definite dal matematico Daniel Bernoulli e quindi generalizzate da Friedrich Bessel, sono le soluzioni dell'equazione differenziale di Bessel del secondo ordine nota come equazione di Bessel. Le soluzioni di queste equazioni possono essere di primo e secondo tipo.

x^2y"+xy'+(x^2-n^2) y=0

Quando il metodo di separazione delle variabili viene applicato alle equazioni di Laplace o risolvendo le equazioni della propagazione del calore e delle onde, esse portano alle equazioni differenziali di Bessel. MATLAB fornisce questa funzione complessa e avanzata "bessel" e la lettera seguita dalla parola chiave decide il primo, il secondo e il terzo tipo di funzione di Bessel.

Tipi di funzioni di Bessel in MATLAB

La soluzione generale dell'equazione differenziale di Bessel ha due soluzioni linearmente dipendenti:

Y= A Jν(x)+B Yν(x)

1. Funzione di Bessel di primo tipo

Funzione di Bessel del primo tipo, Jν (x) è finita in x = 0 per tutti i valori reali di v. In MATLAB è rappresentata dalla parola chiave besselj e segue la sintassi seguente:

  • Y = besselj (nu, z): restituisce la funzione Bessel del primo tipo per ciascun elemento nella matrice Z.
  • Y = besselj (nu, Z, scale) : specifica se ridimensionare la funzione di Bessel in modo esponenziale. Il valore di scala può essere 0 o 1, se è 0, non è necessario alcun ridimensionamento e se il valore è 1, dobbiamo ridimensionare l'output.
  • Gli argomenti di input sono nu e z, dove nu è un ordine di equazione specificato come vettore, matrice, ecc. Ed è un numero reale. Z può essere una matrice vettoriale, scalare o multidimensionale. Nu e z devono avere le stesse dimensioni o uno di questi è scalare.

2. Funzione di Bessel di Second Kind (Yν (x))

È anche nota come funzione Weber o Neumann che è singolare con x = 0. In MATLAB, è rappresentato dalla parola chiave bessely e segue la sintassi seguente:

  • Y = bessely (nu, Z): calcola la funzione di Bessel del secondo tipo Yν (x) per ciascun elemento nella matrice Z.
  • Y = bessely (nu, Z, scale) : specifica se ridimensionare la funzione di Bessel in modo esponenziale. Il valore di scala può essere 0 o 1, se è 0, non è necessario alcun ridimensionamento e se il valore è 1, dobbiamo ridimensionare l'output.
  • Gli argomenti di input sono nu e z, dove nu è un ordine di equazione specificato come vettore, matrice, ecc. Ed è un numero reale. Z può essere una matrice vettoriale, scalare o multidimensionale. Nu e z devono avere le stesse dimensioni o uno di questi è scalare.

3. Funzione di Bessel di terzo tipo

È rappresentato dalla parola chiave besselh e segue la sintassi seguente:

  • H = besselh (nu, Z) : calcola la funzione di Hankel per ciascun elemento dell'array Z
  • H = besselh (nu, K, Z ): calcola la funzione di Hankel del primo o secondo tipo per ogni elemento nella matrice Z dove K può essere 1 o 2. Se K è 1, calcola la funzione di Bessel del primo tipo e se K è 2 calcola la funzione di Bessel del secondo tipo.
  • H = besselh (nu, K, Z, scale ): specifica se ridimensionare la funzione di Bessel in modo esponenziale. Il valore di scala può essere 0 o 1, se è 0, non è necessario alcun ridimensionamento e se il valore è 1, dobbiamo ridimensionare l'output in base al valore di K.

Funzioni di Bessel modificate

1. Funzione di Bessel modificata del primo tipo

È rappresentato dalla parola chiave besseli e segue la sintassi seguente:

  • I = besseli (nu, Z): calcola la funzione di Bessel modificata del primo tipo I ν ( z ) per ciascun elemento nella matrice Z.
  • I = besseli (nu, Z, scale): specifica se ridimensionare la funzione di Bessel in modo esponenziale. Se la scala è 0, non è necessario il ridimensionamento e se la scala è 1, è necessario ridimensionare l'output.
  • Gli argomenti di input sono nu e z, dove nu è un ordine di equazione specificato come vettore, matrice, ecc. Ed è un numero reale. Z può essere una matrice vettoriale, scalare o multidimensionale. Nu e z devono avere le stesse dimensioni o uno di questi è scalare.

2. Funzione di Bessel modificata del secondo tipo

È rappresentato dalla parola chiave besselk e segue la sintassi seguente:

  • K = besselk (nu, Z): calcola la funzione di Bessel modificata del secondo tipo K ν (z) per ciascun elemento nella matrice Z.
  • K = besselk (nu, Z, scale): specifica se ridimensionare la funzione di Bessel in modo esponenziale. Se la scala è 0, non è necessario il ridimensionamento e la scala è 1, quindi l'output deve essere ridimensionato.
  • Gli argomenti di input sono nu e z, dove nu è un ordine di equazione specificato come vettore, matrice, ecc. Ed è un numero reale. Z può essere una matrice vettoriale, scalare o multidimensionale. Nu e z devono avere le stesse dimensioni o uno di questi è scalare.

Applicazioni della funzione di Bessel

Di seguito sono elencate le diverse applicazioni della funzione Bessel:

  • Elettronica ed elaborazione del segnale : viene utilizzato il filtro di Bessel che segue la funzione di Bessel per preservare un segnale a forma di onda all'interno della banda passante. Viene utilizzato principalmente nei sistemi di crossover audio. Viene anche usato nella sintesi FM (Frequency Modulation) per spiegare la distribuzione armonica di un segnale sinusoidale modulato da un altro segnale sinusoidale. La finestra Kaiser che segue la funzione di Bessel può essere utilizzata nell'elaborazione del segnale digitale.
  • Acustica : viene utilizzata per spiegare le diverse modalità di vibrazione in diverse membrane acustiche come un tamburo.
  • Spiega la soluzione dell'equazione di Schrödinger in coordinate sferiche e cilindriche per una particella libera.
  • Spiega la dinamica dei corpi galleggianti.
  • Conduzione del calore: equazioni differenziali di Bessel possono generare equazioni del flusso di calore e della conduzione del calore in un cilindro vuoto cavo.

Conclusione

Esistono molte altre applicazioni che utilizzano le funzioni di Bessel come la progettazione del microfono, la progettazione dello smartphone, ecc. Quindi, è necessario selezionare il sistema di coordinate adeguato e se stiamo affrontando eventuali problemi che coinvolgono coordinate cilindriche o sferiche, la funzione di Bessel si apre naturalmente.

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