Formula di varianza (sommario)
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- Esempi
Che cos'è una formula di varianza?
Il termine "varianza" si riferisce all'estensione della dispersione dei punti di dati di un set di dati dalla sua media, che viene calcolata come media della deviazione al quadrato di ciascun punto di dati dalla media della popolazione. La formula per una varianza può essere derivata sommando la deviazione quadrata di ciascun punto dati e quindi dividendo il risultato per il numero totale di punti dati nel set di dati. Matematicamente, è rappresentato come,
σ 2 = ∑ (X i – μ) 2 / N
dove,
- X i = i th punto dati nel set di dati
- μ = Media della popolazione
- N = Numero di punti dati nella popolazione
Esempi di formula di varianza (con modello Excel)
Facciamo un esempio per comprendere meglio il calcolo della varianza.
È possibile scaricare questo modello Excel varianza formula qui - Modello Excel varianza formulaFormula di varianza - Esempio n. 1
Facciamo l'esempio di un'aula con 5 studenti. La classe ha avuto un controllo medico in cui sono stati pesati e sono stati acquisiti i seguenti dati. Calcola la varianza del set di dati in base alle informazioni fornite.
Soluzione:
La media della popolazione è calcolata come:
- Media della popolazione = (30 kg + 33 kg + 39 kg + 29 kg + 34 kg) / 5
- Media della popolazione = 33 kg
Ora, dobbiamo calcolare la deviazione, cioè la differenza tra i punti dati e il valore medio.
Allo stesso modo, calcolare per tutti i valori del set di dati.
Ora, calcoliamo le deviazioni al quadrato di ciascun punto dati come mostrato di seguito,
La varianza viene calcolata utilizzando la formula indicata di seguito
σ 2 = ∑ (X i - μ) 2 / N
- σ 2 = (9 + 0 + 36 + 16 + 1) / 5
- σ 2 = 12.4
Pertanto, la varianza del set di dati è 12.4 .
Formula di varianza - Esempio n. 2
Facciamo l'esempio di una start-up che comprende 8 persone. Viene data l'età di tutti i membri. Calcola la varianza del set di dati in base alle informazioni fornite.
Soluzione:
La media della popolazione è calcolata come:
- Media della popolazione = (23 anni + 32 anni + 27 anni + 37 anni + 35 anni + 25 anni + 29 anni + 40 anni) / 8
- Media della popolazione = 31 anni
Ora, dobbiamo calcolare la deviazione, cioè la differenza tra i punti dati e il valore medio.
Allo stesso modo, calcolare per tutti i valori del set di dati.
Ora, calcoliamo le deviazioni al quadrato di ciascun punto dati come mostrato di seguito,
La varianza viene calcolata utilizzando la formula indicata di seguito
σ 2 = ∑ (X i - μ) 2 / N
- σ 2 = (64 + 1 + 16 + 36 + 16 + 36 + 4 + 81) / 8
- σ 2 = 31.75
Pertanto, la varianza del set di dati è 31.75 .
Spiegazione
La formula per una varianza può essere derivata utilizzando i seguenti passaggi:
Passaggio 1: in primo luogo, creare una popolazione comprendente un gran numero di punti dati. Questi punti dati saranno indicati con X i .
Passaggio 2: Successivamente, calcolare il numero di punti dati nella popolazione che è indicato da N.
Passaggio 3: Successivamente, calcolare la popolazione significa sommando tutti i punti dati e quindi dividendo il risultato per il numero totale di punti dati (passaggio 2) nella popolazione. La media della popolazione è indicata con μ.
μ = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 / N
o
μ = ∑ X i / N
Passaggio 4: Successivamente, sottrarre la media della popolazione da ciascuno dei punti dati della popolazione per determinare la deviazione di ciascuno dei punti dati dalla media, ovvero (X 1 - μ) è la deviazione per il primo punto dati, mentre ( X 2 - μ) è per il 2 ° punto dati, ecc.
Passaggio 5: Successivamente, determinare il quadrato di tutte le rispettive deviazioni calcolato nel passaggio 4, ovvero (X i - μ) 2 .
Passaggio 6: Quindi, sommare tutte le rispettive deviazioni al quadrato calcolate nel passaggio 5, ad es. (X 1 - μ) 2 + (X 2 - μ) 2 + (X 3 - μ) 2 + …… + (X n - μ) 2 o ∑ (X i - μ) 2 .
Passaggio 7: Infine, la formula per una varianza può essere derivata dividendo la somma delle deviazioni quadrate calcolate nel passaggio 6 per il numero totale di punti dati nella popolazione (fase 2) come mostrato di seguito.
σ 2 = ∑ (X i - μ) 2 / N
Rilevanza e usi della formula della varianza
Dal punto di vista di uno statistico, una varianza è un concetto molto importante da comprendere in quanto viene spesso utilizzato nella distribuzione di probabilità per misurare la variabilità (volatilità) dell'insieme di dati rispetto alla sua media. La volatilità funge da misura del rischio e pertanto la varianza risulta utile nella valutazione del rischio di portafoglio di un investitore. Una varianza zero indica che tutte le variabili nel set di dati sono identiche. D'altra parte, una varianza più elevata può essere indicativa del fatto che tutte le variabili nel set di dati sono lontane dalla media, mentre una varianza inferiore indica esattamente il contrario. Tieni presente che la varianza non può mai essere un numero negativo.
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