Formula prodotto incrociato vettoriale (sommario)
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Cos'è la formula del prodotto Vector Cross?
Nell'algebra vettoriale e in matematica, il termine "prodotto incrociato vettoriale" si riferisce alle operazioni binarie tra vettori nella geometria tridimensionale. Il prodotto incrociato è indicato da un segno incrociato "x" tra i due vettori e l'operazione del prodotto incrociato si traduce in un altro vettore perpendicolare al piano contenente i due vettori iniziali. La formula per il prodotto a croce vettoriale può essere derivata moltiplicando i valori assoluti dei due vettori e il seno dell'angolo tra i due vettori. Matematicamente, supponiamo che a e b sono due vettori, tali che a = a 1 i + a 2 j + a 3 k e b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, quindi il prodotto della croce vettoriale è rappresentato come,
ax b = |a| |b| sinθ n
dove θ = angolo compreso tra a e B
| un | = √ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 )
| B | = √ (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 )
n = Vettore unitario perpendicolare ad entrambi a e B
Inoltre, il prodotto a croce vettoriale può anche essere espanso nei suoi componenti vettoriali tridimensionali, cioè i, j e k, che sono tutti perpendicolari tra loro. La formula per il prodotto incrociato vettoriale è rappresentata come,
ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )
Esempi di formula di prodotti incrociati vettoriali (con modello Excel)
Facciamo un esempio per comprendere meglio il calcolo del prodotto Vector Cross.
Puoi scaricare questo Modello Excel di formula prodotto incrociato vettoriale qui - Modello croce di prodotto formula Excel vettorialeFormula del prodotto Vector Cross - Esempio n. 1
Facciamo l'esempio di due vettori a e b tale che la loro grandezza scalare è | un | = 5 e | B | = 3, mentre l'angolo tra i due vettori è di 30 gradi. Calcola il prodotto incrociato vettoriale dei due vettori.
Soluzione:
Il prodotto Vector Cross dei due vettori viene calcolato utilizzando la formula indicata di seguito
ascia b = | un | | B | sinθ n
- ascia b = 5 * 3 * sin30 n
- ascia b = 7.5 n
Pertanto, il prodotto incrociato vettoriale dei due vettori è 7.5.
Formula prodotto incrociato vettoriale - Esempio n. 2
Facciamo l'esempio di due vettori a (4, 2, -5) e b (2, -3, 7) tale che a = 4i + 2j - 5k e b = 2i - 3j + 7k. Calcola il prodotto incrociato vettoriale dei due vettori.
Soluzione:
Il prodotto Vector Cross dei due vettori viene calcolato utilizzando la formula indicata di seguito
ascia b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
- ascia b = i (2 * 7 - (-5) * (-3)) + j ((-5) * 2 - 4 * 7) + k (4 * (-3) - 2 * 2)
- ascia b = -i + ( - 38 j ) + ( - 16 k )
Pertanto, il prodotto incrociato vettoriale dei due vettori (4, 2, -5) e (2, -3, 7) è (-1, -38, -16).
Formula prodotto incrociato vettoriale - Esempio n. 3
Prendiamo l'esempio di un parallelogramma i cui lati adiacenti sono definiti dai due vettori a (6, 3, 1) e b (3, -1, 5) tale che a = 6i + 3j + 1k e b = 3i - 1j + 5k. Calcola l'area del parallelogramma.
Soluzione:
Ora, il prodotto incrociato vettoriale dei due vettori può essere calcolato usando la formula sopra come
ascia b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
- ascia b = i (3 * 5 - 1 * (-1)) + j (1 * 3 - 6 * 5) + k (6 * (-1) - 3 * 3)
- ascia b = 16 i + ( - 27 j ) + ( - 15 k )
Ora, l'area del parallelogramma può essere derivata calcolando l'entità del prodotto della croce vettoriale come,
- | ascia B | = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
- | ascia B | = 34.79
Pertanto, l'area del parallelogramma è 34, 79.
Spiegazione
La formula per il prodotto incrociato vettoriale può essere derivata utilizzando i seguenti passaggi:
Passaggio 1: in primo luogo, determinare il primo vettore ae suoi componenti vettoriali.
Passaggio 2: Successivamente, determinare il secondo vettore b e suoi componenti vettoriali.
Passaggio 3: Successivamente, determinare l'angolo tra il piano dei due vettori, che è indicato da θ .
Passaggio 4: Infine, la formula per il prodotto vettoriale incrociato tra vettore a e b può essere derivato moltiplicando i valori assoluti di a e b che viene quindi moltiplicato per il seno dell'angolo (passaggio 3) tra i due vettori come mostrato di seguito.
ascia b = | un | | B | sinθ n
Rilevanza e usi della formula del prodotto trasversale vettoriale
Il concetto di prodotto incrociato vettoriale ha diverse applicazioni nel campo dell'ingegneria, della matematica, della geometria computazionale, della fisica, della programmazione informatica, ecc. Il concetto sottostante ci aiuta a determinare non solo l'entità della componente scalare del prodotto di due vettori, ma fornisce anche la direzione del risultante. Inoltre, viene anche utilizzato per determinare l'angolo tra i piani dei due vettori. Il concetto e le applicazioni dei prodotti Vector Cross possono essere molto complessi e interessanti.
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