Formula di distribuzione geometrica (sommario)

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Che cos'è la formula di distribuzione geometrica?

Nella statistica e nella teoria delle probabilità, una variabile casuale ha una distribuzione geometrica solo se la sua funzione di densità di probabilità può essere espressa in funzione della probabilità di successo e del numero di prove. In effetti, la distribuzione geometrica aiuta a determinare la probabilità della prima occorrenza di successo dopo un certo numero di prove data la probabilità di successo. Se la probabilità di successo è 'p', allora la formula per la probabilità della prima occorrenza di successo dopo le prove 'k' può essere derivata moltiplicando la probabilità di successo per uno meno la probabilità di successo che è elevata alla potenza di un numero di prove meno una. Matematicamente, la funzione di densità di probabilità è rappresentata come,

P(X=k) = p * (1 – p) (k – 1)

Dove,

  • p = probabilità di successo
  • k = Prova in cui si verifica il primo successo

Esempi di formula di distribuzione geometrica (con modello di Excel)

Facciamo un esempio per comprendere meglio il calcolo della distribuzione geometrica.

Puoi scaricare questo modello Excel di formula di distribuzione geometrica qui - Modello Excel di formula di distribuzione geometrica

Formula di distribuzione geometrica - Esempio n. 1

Facciamo l'esempio di un battitore che non è riuscito a segnare le prime sette palle ma ha colpito un limite dell'ottava consegna che ha affrontato. Se la probabilità che il battitore colpisca un limite è 0, 25, calcola la probabilità che il battitore colpisca il primo limite dopo otto palle.

Soluzione:

La probabilità viene calcolata utilizzando la formula di distribuzione geometrica come indicato di seguito

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilità = 0, 25 * (1 - 0, 25) (8 - 1)
  • Probabilità = 0, 0334

Pertanto, c'è una probabilità 0, 0334 che il battitore colpirà il primo confine dopo otto palle.

Formula di distribuzione geometrica - Esempio n. 2

Ora, passiamo agli sport del calcio e prendiamo l'esempio di un calciatore che segna un goal con una probabilità di 0, 7 ogni volta che ottiene la palla da solo. Determina la probabilità che il calciatore segnerà il suo primo goal dopo:

  • 8 tentativi
  • 6 tentativi
  • 4 tentativi
  • 2 tentativi

Soluzione:

8 tentativi

La probabilità viene calcolata utilizzando la formula di distribuzione geometrica come indicato di seguito

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilità = 0, 7 * (1 - 0, 7) (8 - 1)
  • Probabilità = 0, 00015

6 tentativi

La probabilità viene calcolata utilizzando la formula di distribuzione geometrica come indicato di seguito

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilità = 0, 7 * (1 - 0, 7) (6 - 1)
  • Probabilità = 0, 0017

4 tentativi

La probabilità viene calcolata utilizzando la formula di distribuzione geometrica come indicato di seguito

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilità = 0, 7 * (1 - 0, 7) (4 - 1)
  • Probabilità = 0, 0189

2 tentativi

La probabilità viene calcolata utilizzando la formula di distribuzione geometrica come indicato di seguito

P = p * (1 - p) (k - 1)

  • Probabilità = 0, 7 * (1 - 0, 7) (2 - 1)
  • Probabilità = 0, 21

Pertanto, nell'esempio precedente, si può vedere che la probabilità del primo successo diminuisce con l'aumento del numero di tentativi falliti, vale a dire la probabilità del primo successo è diminuita da 0, 21 dopo 2 tentativi a 0, 00015 dopo 8 tentativi.

Spiegazione

La formula per la distribuzione geometrica viene derivata utilizzando i seguenti passaggi:

Passaggio 1: in primo luogo, determinare la probabilità di successo dell'evento ed è indicato con 'p'.

Passaggio 2: Successivamente, la probabilità di errore può essere calcolata come (1 - p).

Passaggio 3: Successivamente, determinare il numero di prove in cui viene registrata la prima istanza di successo o la probabilità di successo è uguale a una. Il numero di prove è indicato da 'k'.

Passaggio 4: Infine, la formula per la probabilità del primo successo dopo le prove 'k' può essere derivata calcolando innanzitutto i probabili guasti, ovvero (1 - p), elevato al numero di tentativi falliti prima del primo successo, ovvero (k - 1), quindi moltiplicando il risultato per il successo nel kth tentativo come mostrato di seguito.

P (X = k) = p * (1 - p) (k - 1)

Rilevanza e usi della formula di distribuzione geometrica

Il concetto di distribuzione geometrica trova applicazione nella determinazione della probabilità di primo successo dopo un certo numero di tentativi. In effetti, il modello di distribuzione geometrica è un caso speciale della distribuzione binomiale negativa ed è applicabile solo per quella sequenza di prove indipendenti in cui sono possibili solo due risultati in ciascuna prova. Va notato che, secondo questo modello di distribuzione, ogni aumento di una serie di tentativi falliti comporta una riduzione significativa della probabilità di primo successo. In tali casi, la distribuzione può essere utilizzata per determinare il numero di guasti prima del primo successo.

Calcolatore di formula di distribuzione geometrica

È possibile utilizzare il seguente calcolatore di distribuzione geometrica

p
K
P (X = k)

P (X = k) = p * (1 - p) (k-1)
= 0 * (1 - 0) (0-1) = 0

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Questa è una guida alla formula di distribuzione geometrica. Qui discutiamo di come calcolare la distribuzione geometrica insieme ad esempi pratici. Forniamo anche un calcolatore di distribuzione geometrica con modello Excel scaricabile. Puoi anche consultare i seguenti articoli per saperne di più -

  1. Che cos'è la formula di distribuzione ipergeometrica?
  2. Esempi di formula di distribuzione di Poisson
  3. Formula di distribuzione T (esempi con modello Excel)
  4. Calcolatrice per la formula di distribuzione normale standard

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Sviluppo dell'imprenditorialità